Función de transferencia G(s)
%%Definicion de funcion de transferencia
Numerador= [4 10];
Denominador =[1 2 10];
G=tf(Numerador,Denominador)
step(G)
stepinfo(G)
% Tiempo discreto
T=0.1;
GLz=tf(2,[1 2], T)
step(GLz)
Definimos margen de ganancia Mg y margen de fase Mf.
El margen de ganancia marca la ganancia adicional que
llevaría el lazo cerrado a la condición de estabilidad crítica.
El margen de fase cuantifica el retardo de fase puro que
debería agregarse para alcanzar la misma condición de estabilidad crítica.
Una función de transferencia es una función matemática
lineal que emplea la famosa herramienta matemática de la transformada de
Laplace y permite representar el comportamiento dinámico y estacionario de
cualquier sistema. Sin embargo, vamos a detallar este concepto minuciosamente.
Sabemos que cuando nos encontramos en frente de algún
proceso, sea cual sea, este proceso por lo general contará con actuadores y
sensores. Los actuadores harán con que mis variables (presión, temperatura,
nivel, humedad, velocidad, etc) comiencen a variar con el tiempo, mientras que
los sensores se encargan de medir y mostrarme como dichas variables están
cambiando con el tiempo.
Nos indica la influencia de los polos y los ceros de la propia función de transferencia, donde
son los coeficientes que son aportados por los CEROS, esto
nos indica que la función de los ceros en la respuesta del sistema es ponderar
cada uno de las exponenciales dadas en la respuesta temporal.
Entendamos que el concepto de POLOS y CEROS no le pertenece
al área de Control, es un concepto de Matemáticas, donde si se toma una
FUNCIÓN, el cero de dicha función hace que la función de CERO y el polo de la
función hace que de INFINITO.
Sin embargo, el CERO en el área de control en una función
de transferencia de un sistema puede ser interpretado como una «transferencia
nula» entre la entrada y la salida del sistema en la frecuencia del propio
cero. Esto quiere decir que si excitamos el sistema justo en la frecuencia del
cero, esta no se verá reflejada en la respuesta del sistema.
O sea, de forma general si tenemos un sistema dado por:
Un sistema de segundo orden es aquel cuya función de transferencia
tiene dos polos. Al igual que en los sistemas de primer orden, en
cualquier sistema físico real el número de ceros debe ser inferior o a lo sumo
igual al de polos, y por ello los sistemas de segundo orden pueden tener como
máximo dos ceros.
En general, y debido a su simplicidad, se tiende a intentar
modelar cualquier sistema como uno de segundo orden, por lo que es necesario
estudiar en profundidad dicho tipo de sistemas. Así, en un principio se van a
estudiar los sistemas de segundo orden sin ningún cero para más adelante
estudiar el efecto de añadirle ceros o polos obteniendo sistemas de orden superior y/o
con ceros.
Si se considera, entonces, el caso de un sistema de control de segundo orden sin ceros, se puede siempre reescribir su función de transferencia para que quede de la forma:
donde K es la ganancia del sistema (ganancia a baja frecuencia o ante entrada escalón), δ el coeficiente de amortiguamiento, y ωn la frecuencia natural o propia del sistema (ωn>0). En definitiva, se puede caracterizar este tipo de sistemas por estos tres parámetros, a los cuales se dará un sentido físico más adelante.
Para analizar la dinámica del sistema es necesario estudiar
la situación de sus polos para los diferentes valores de los parámetros, o lo
que es lo mismo, obtener una relación entre éstos, la situación de los polos en
el plano s, y el comportamiento del sistema ante las entradas patrón. Los dos
polos del sistema son las raíces de la ecuación característica del sistema
ecuación resultante de igualar a cero el denominador de la función de
transferencia.
Teniendo
en cuenta todo lo anterior se deduce fácilmente que si se mantiene la
frecuencia natural ωn constante, y se varía el coeficiente de
amortiguamiento δ de 0 a ∞, entonces las raíces de la ecuación característica
describen la gráfica de la Figura
donde K es la ganancia del sistema (ganancia a baja
frecuencia o ante entrada escalón), δ el coeficiente de amortiguamiento, y ωn
la frecuencia natural o propia del sistema (ωn>0). En definitiva, se puede
caracterizar este tipo de sistemas por estos tres parámetros, a los cuales se
dará un sentido físico más adelante.
Para analizar la dinámica del sistema es necesario estudiar
la situación de sus polos para los diferentes valores de los parámetros, o lo
que es lo mismo, obtener una relación entre éstos, la situación de los polos en
el plano s, y el comportamiento del sistema ante las entradas patrón. Los dos
polos del sistema son las raíces de la ecuación característica del sistema
ecuación resultante de igualar a cero el denominador de la función de
transferencia.
Un sistema de primer orden es aquel en el que la mayor derivada de la señal de salida en la ecuación diferencial que relaciona sus señales de entrada y salida es de orden uno, esto es, su función de transferencia solo tiene un polo.
Teniendo en cuenta el principio de causalidad un sistema de primer
orden puede tener un cero como máximo. En un primer estudio se considera el
caso en el que la función de transferencia es de la forma:
dejando para el siguiente punto el caso de un sistema de
primer orden con cero adicional.
A la hora de analizar el transitorio de este sistema se va
a calcular la expresión analítica de su señal de salida ante la entrada escalón
unitario. Para una mayor profundización en el conocimiento del comportamiento
del sistema podría ser de utilidad el realizar el mismo estudio para otra señal
de entrada, como puede ser la rampa o la parábola, o una combinación de ellas.
Sin embargo, como ya se explicó en la Sección 6.2, en general basta con
analizar el comportamiento de un sistema ante entrada escalón unitario para
inferir su respuesta ante otro tipo de entradas.
En el caso del sistema de primer orden se observa que
cuanto mayor sea la constante de tiempo T más lentos son tanto la velocidad de
respuesta como la llegada al estado estacionario (en estos sistemas estas dos
características están siempre relacionadas, no así en general), y viceversa. Y
dado que el polo está situado en s = -1∕T, se puede concluir que cuanto más
cerca esté el polo del eje imaginario (menor sea su módulo) más lento será el sistema
(Figura 6.5), siendo esta característica general para todos los sistemas,
cualquiera que sea su orden.
¿Qué son los diagramas de Bode?
Los diagramas de Bode fueron originalmente concebidos por el Dr. Henrik Wayne Bode mientras trabajaba para Bell Labs en la década de 1930. Son usados principalmente para analizar la estabilidad de los sistemas de control, por ejemplo cuando se diseña y analiza los bucles de retroalimentación de fuentes de poder. La ventaja de usar diagramas de Bode es que ellos nos proporcionan una manera directa y común de describir la frecuencia en respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo.
El margen de fase se mide en la frecuencia donde la
ganancia es igual a 0 dB. Esto normalmente hace referencia a la «frecuencia
cruzada». El margen de fase es una medición de la distancia desde la fase
medida hasta el desplazamiento de fase de -180°. En otras palabras, cuantos
grados debe disminuir la fase para alcanzar -180°.
El margen de ganancia, por otro lado, se mide en la
frecuencia donde el desplazamiento de fase es igual a -180°. El margen de
ganancia indica la distancia, en dB, desde la ganancia medida hasta una
ganancia de 0 dB. Estos valores, 0 dB y -180° son importantes porque si estos
dos valores se encuentran, causan inestabilidad en el sistema.
Los márgenes de fase y ganancia representan la distancia
desde los puntos en los cuales podría ocurrir la inestabilidad. Cuanto mayor
sea la distancia o el margen es mejor, un mayor margen de ganancia o de fase
significa una mayor estabilidad. Un bucle con un margen de ganancia de cero o
incluso menos sería solo condicionalmente estable y fácilmente se volvería inestable
si la ganancia cambiara. Un objetivo típico para el margen de fase es tener al
menos 45 grados, e incluso puede desearse valores más altos en aplicaciones más
críticas.
Además de las consideraciones de seguridad, el rendimiento
se ve también afectado por los valores que pueden establecerse a partir de los
diagramas de Bode. Por ejemplo, una frecuencia cruzada mayor a 0 dB
generalmente significa una respuesta más rápida a los cambios de carga. Y una
ganancia más baja en altas frecuencias significa una mejor inmunidad al ruido o
una salida de ondulación más baja.
Diagramas de Bode vs. prueba transitoria de carga y pruebas
de respuesta en escalan.
Existen otras formas comunes de cuantificar o medir la
estabilidad de las fuentes de poder, como las pruebas transitorias de carga o
las pruebas de respuesta en escalan. Aunque este método se entiende bien y es
muy usado, puede ser difícil crear un circuito para generar una carga
escalonada rápida, especialmente si hay inductancia entre la fuente de poder y el
generador de carga escalonada.
Los diagramas de Bode ofrecen diversas ventajas importantes
que no encontramos en este método.
·
La respuesta en escalal solo muestra un
comportamiento a gran escala, mientras que los diagramas de Bode pueden mostrar
un comportamiento en una escala mas pequeña.
·
Los diagramas de Bode también se pueden hacer
en diferentes niveles de carga o puntos de operación. Esto es importante porque
la estabilidad del bucle a menudo depende del punto de operación. Una fuente de
poder puede que parezca estable, pero tiene tendencia a la inestabilidad bajo
diferentes condiciones de carga.
Medición de la estabilidad de bucle cerrado con
los diagramas de Bode.
Para describir mejor la aplicación de los diagramas de
Bode, la estabilidad del bucle cerrado de una fuente de poder CC/CC, se mide
determinando la respuesta del bucle cerrado. Esto se puede probar al usar el
método de inyección de voltaje. Este método incorpora una resistencia muy
pequeña, normalmente en el orden de 10 ohmios, en el bucle de realimentación.
Se debe elegir un punto tal que la impedancia orientada en la dirección del
bucle de retroalimentación sea mucho mayor que la impedancia orientada hacia
atrás. Se inyecta entonces una pequeña señal de interferencia en la resistencia.
Esto normalmente se realiza utilizando lo que se conoce como un transformador
de inyección para evitar influir en el bucle. Luego se mide la respuesta y se
generan los diagramas de Bode.
Instrumentos para medir la respuesta de bucle
cerrado
Se pueden utilizar dos categorías diferentes de
instrumentos cuando se mide la respuesta de bucle cerrado. La primera de estas
categorías es un analizador de redes vectoriales o VNA. Un VNA normalmente
posee un alto rango dinámico, el cual le permite realizar mediciones de
impedancia muy exactas. Una desventaja al usar un VNA, además de su costo y
complejidad, es que los VNA son más apropiados para la caracterización de
componentes de 50 ohmios. Los osciloscopios, por otro lado, ya se usan
habitualmente en el desarrollo de fuentes de poder y permiten la
caracterización directa del ruido y de la ondulación de salida. Los
osciloscopios pueden ahora también realizar medición de estabilidad como
márgenes de ganancia y fase, factor de rechazo a la fuente de poder y respuesta
en escalan.
Configuración de prueba: cómo medir la
respuesta de bucle de control con un osciloscopio
Para medir la respuesta de bucle de una fuente de poder
CC-CC. se debe inyectar una señal de interferencia en el bucle. Así, se debe
elegir un punto donde la impedancia orientada en la dirección del bucle sea
mucho mayor que la impedancia orientada hacia atrás. Un pequeño resistor se
instala en el punto de inyección y se aplica voltaje de perturbación en
paralelo a la resistencia de inyección usando un transformador de inyección de
banda ancha. El generador interno del osciloscopio crea una señal de
interferencia. Dos canales del osciloscopio están conectados a cada lado del
punto de inyección. basándose en los valores medidos, el osciloscopio genera y
muestra los diagramas de Bode.
Cuando se mida la respuesta del bucle cerrado, es
importante usar las sondas correctas. Las amplitudes pico a pico en los puntos
de medición pueden ser muy bajas en algunas frecuencias de prueba. Por esta
razón, se recomienda usar sondas pasivas 1x en lugar de las sondas 10x más
comunes. Si la señal se aumenta al factor del ruido, también mejora el rango
dinámico de las mediciones de la respuesta en frecuencia. También es importante
utilizar resortes o cables muy cortos para la puesta a tierra y así reducir la
captación del ruido de conmutación y bucles de tierra inductivos.
DIAGRAMAS DE BODE.
El análisis de estabilidad de sistemas de tiempo discreto
puede realizarse, como en sistemas analógicos, en base al margen de fase MF y
al margen de ganancia MG definidos a partir de la respuesta en frecuencia del
sistema de lazo abierto. En sistemas de tiempo continuo la respuesta en
frecuencia puede ser obtenida en forma aproximada a través de los diagramas de Bode.
En efecto, basándose en el hecho de que la respuesta en frecuencia de un
sistema continuo se obtiene al evaluar la función de transferencia en s = jω,
pueden obtenerse, a través de propiedades geométricas, aproximaciones por
líneas rectas de la respuesta en frecuencia. En el dominio z , la respuesta en
frecuencia se obtiene a partir de evaluar la función de transferencia en z =
ejω, es decir sobre puntos de la circunferencia unitaria. Evidentemente, la evaluación
aproximada de Bode, por líneas rectas, no es aplicable. Sin embargo, si se
emplea la transformación bilineal para pasar del plano z al plano w, las
aproximaciones de Bode por líneas rectas pueden ser utilizados para analizar el
comportamiento en frecuencia de sistemas muestreados.
Ejemplo.
Supóngase el mismo ejemplo ya analizado. Los diagramas de
Bode del sistema de tiempo continúo dado por la ecuación (4-5) se han
representado en la figura 4.5
Función de transferencia G(s) %%Definicion de funcion de transferencia Numerador= [4 10]; Denominador =[1 2 10]; G=tf(Numerador,Denominado...
